Цепные дроби курсовая работа

05.09.2019 DEFAULT 1 Comments

Другие рефераты по математике. Число как основное понятие математики. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем. Подходящие дроби. Сравним теперь подходящую дробь и кусок разложения до остаточного числа.

Методика распределения простых чисел. Рассмотрение рациональных чисел как средства измерения. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.

Цепные дроби - Николай Мощевитин

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям Цепные дроби курсовая работа и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. Рекомендуем скачать работу и оценить ее, кликнув по соответствующей звездочке.

Главная База знаний "Allbest" Математика Цепные дроби - подобные работы. Цепные дроби Методы представления рациональных чисел цепными дробями и представления действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями. Способы оценки погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью.

Теорема Дирихле.

Цепные дроби курсовая работа 5304

Конечные цепные дроби. Теория цепных дробей. Характеристика использования схемы Горнера для деления. Закон составления подходящих дробей. Решение одного уравнения Риккати. Сущность и расчет интерполяционных цепных дробей. Число как основное понятие математики. Натуральные числа, их функции. Вавилонские шестидесятеричные дроби. Нумерация и дроби в Древней Греции. Развитие идеи отрицательного количества в Европе.

Векторные, действительные рациональные и цепные дроби курсовая работа числа. Савин А. Энциклопедический словарь юного математика. Устинов А. Цепные дроби вокруг. Хинчич А.

Цепные дроби. Хованский А. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа. Введите данные для поиска работы. Выберите тип работы дипломные работы курсовые работы рефераты. Купить работу. Заказать новую работу. Введение 3 1. Цепные дроби и их характеристика 5 1. Применение цепных дробей в теории чисел 5 1. Приложения цепных дробей 6 1.

[TRANSLIT]

Понятие цепной дроби 9 1. Бесконечные цепные дроби 11 1. Повторным сравнением целых частей получаем [pic], а следовательно [pic] и так далее. Если [pic], то в продолжении указанного процесса получим также [pic]. Если же [pic], например [pic], то получим [pic], что невозможно. Теорема доказана. Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия [pic] между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие. Замечания: 1.

2981238

В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент [pic], например, [pic]. При разложении отрицательной дроби отрицательный знак дроби всегда относится к числителю первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями [pic]. Имеются различные формы записи цепных дробей: Согласно последнему обозначению имеем Числа , , …, называются элементами цепной дроби. Или: иррациональное действительное равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь процессом выделения целой части.

Пример: [pic], а так как [pic], то [pic]. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента. Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача — обращения или свертывания цепной дроби [pic] в простую дробь [pic]. При этом основную роль играют дроби вида: [pic] или [pic] которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа [pic]. Считается, что подходящая дробь [pic] имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что [pic] переходит в [pic], если в первой заменить [pic] выражением [pic]. Имеем [pic], [pic], [pic], …, при этом принимается, цепные дроби курсовая работа [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] и так далее.

Цепные дроби курсовая работа 3558

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где [pic], имеем [pic] 1причем [pic] 2 [pic] 3 Далее, говоря о подходящих дробях [pic] в свернутом видемы будем иметь в виду их форму [pic]. Соотношения 1 являются рекуррентными формулами для цепные подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, курсовая работа при увеличении k они возрастают.

Последовательное цепные дроби курсовая работа числителей [pic] и знаменателей [pic] подходящих дробей по формулам дроби и 3 удобно располагать по схеме: [pic] [pic] … [pic] [pic] [pic] … [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] … [pic] [pic] [pic] … [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] … [pic] [pic] [pic] … [pic] Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби 2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3.

А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей. Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k [pic]. Обозначим этот предел заимеемпричем, очевидно, для любого kто есть находится между любыми двумя соседними подходящими дробями.

Теория чисел. 2. Цепные дроби

Следовательно, подходящие дроби любой бесконечной непрерывной дроби имеют некоторый предел. Этот предел принимается в качестве значения бесконечной непрерывной дроби. Говорят, цепные дроби курсовая работа бесконечная непрерывная дробь сходится к или представляет число.

Исходя из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для каждого действительного иррационального существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как. Возникает вопрос, сколько представлений действительного иррационального в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что только.

Цепные дроби

Другими словами: представление действительного иррационального в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение. Назовем бесконечную непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k.

Так как любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку. Но так както и, ввиду равенства 1 равно остаточному числу второго порядка длято. Тогда далеецепные дроби курсовая работа и так далее. Вообще из следует.

Элементы данной бесконечной непрерывной дроби получаются из его значения последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать. Исследования этого параграфа приводят нас к следующему основному результату: каждое иррациональное действительное число единственным образом представляется бесконечной цепной дробью вида и, наоборот, каждой бесконечной цепной дроби соответствует единственное иррациональное действительное число, которое она представляет.

Поэтому множество всех действительных чисел взаимно однозначно отображается на множестве всех непрерывных дробей если условиться, что для конечных непрерывных дробей берется последнее. При этом рациональным числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а иррациональным — бесконечные дроби.

Рациональные числа образуют счетное множество, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой данного иррационального числа цепные дроби рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой точности курсовая этого иррационального числа.

При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем.

Для громоздких рациональных чисел, то есть чисел с большими знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших рациональных приближений, понимая под этим отыскание рациональных цепные дроби курсовая работа со сравнительно небольшими знаменателями, мало отличающимися от цепные дроби чисел.

Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел. Теорема 1: Для любых двух соседних подходящих дробей и к действительному числу имеет место неравенствои если. Доказательство: Еслиподходящие дроби ииз которых одна четная, а другая — нечетная, лежат по разные стороны от так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими работаи поэтому расстояние от до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то.

Теорема 2: Для любой подходящей дроби к действительному числу справедливо неравенство:. Пустьто есть существует подходящая дробь. Если. Теорема 3: Если. Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно. Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, курсовая работа отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно.

Если — несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например,то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов. Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов.

При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, методы активного социально психологического обучения курсовая работа воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, цепные дроби курсовая работа, например, поставлено требование заменить N и n меньшими числами и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе. Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь.

При этом допущенная погрешностьто есть весьма незначительна. Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

История развитие химии докладИсполнительное производство судебных приставов дипломная работа
Апробация работы в дипломной работеРелигия древних римлян доклад
Пища и витамины рефератДоклад на тему разрядники
Реферат по теме происхождение философииЭлектрическая печь сопротивления курсовой проект
Реферат капитальный ремонт зданийРеферат образовательное пространство кабинета по вашему предмету

Пример 2: Как мы уже определили ранее. Вычислим с точностью до 0, Для решения придется найти такую подходящую дробь разложения. Это значение будет равно с точностью до 0, причем с недостатком, так как — подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0, Получаем мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3, приближенным значением с недостатком или избытком.

Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n. Для этого, цепные дроби курсовая работа аппаратом цепных дробей, цепные дроби курсовая работа подходящую дробь с наименьшим знаменателем так. Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного числа рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями. А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.

Пусть — произвольное действительное число.

  • Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями.
  • Классификация 5.
  • Достаточно сделать это для , так как в силу соотношения 5 , из ограниченности уже как следствие вытекает ограниченность , а в силу 6 — ограниченность.
  • Хованский А.
  • Определение цепной дроби.
  • Бесконечные цепные дроби.
  • Пример: Десятичное выражение числа в виде рациональной дроби со знаменателем имеет вид.

Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа такого. Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения кчтобы точность приближения была в или в раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю.

Теорема Дирихле: Пусть и — действительные числа; существует несократимая дробьдля которой. Рассмотрим два случая:. Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N -1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это доказательство. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то.

Если цепные дроби курсовая работа числами являются и. Пусть и.

Следовательно, ,. Подходящие дроби. Приложения цепных дробей 6 1. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби — взаимно простые числа, то есть всякая k—подходящая дробь несократима.

Так както. Если и 1 принадлежат одному промежутку.